COMMENT APPRIVOISER UN ORDINATEUR ?

En étant un acteur irréfléchi...


COMMENT DOMESTIQUER LES MATHS ?

En étant un acteur réfléchi...

Les belles paroles, (série)...

Loin d'être l'exercice ingrat

ou vain que l'on imagine, les mathématiques

pourraient bien être le chemin

le plus court pour la vraie vie, laquelle,

quand elle existe, se signale

par un incomparable bonheur.

ALAIN BADIOU

Eloge des 

mathématiques

Au commencement, il y a les nombres entiers...

Le point de départ des mathématiques est celui des nombres entiers  0, 1, 2, 3...  mais beaucoup de choses tombent entre les intervalles.

Par exemple, entre 0 et 1 il existe un nombre infini de nombres :

0, 01 ou 1/100
0, 1 ou 1/10
0, 142857142857142857142857... ou 1/7
0, 25 ou 1/4
0, 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333... ou 1/3
0, 5 ou 1/2
0, 75 ou 3/4
0, 8 ou . / .. ou . / .

Entre 1 et 2, il y a aussi un nombre infini de nombres, par exemple :

√2 ou 1,41421356237309504880...
√2 ou 1,41 à 1/100 près
√2 ou 1,414 à 1/1000 près
√2 ou 1,414213 à 1/100 000 près

√3 ou 1,73205080756887729352...
1,73
1,732

Entre 3 et 4, il y a aussi un nombre infini de nombres, par exemple :

π ou 3,14159265358979323846...
3,14
3,141
3,1416
3,141592653


Tous les nombres "réels" sont soit rationnels, soit irrationnels.

On appelle "nombres rationnels" les nombres réels que l'on peut exprimer en une fraction de 2 entiers.

1/2 ou 1/3 ou 3/11

Ceux qui ne peuvent pas être exprimés en une fraction de 2 entiers sont des nombres dit "irrationnels".

1/7 = 0,142857142857142857...    nombre rationnel
π = 3,14159265358979323...      nombre irrationnel


1/3    nombre ...............................
√2     nombre ...............................

π ou 3,14

La constante mathématique la plus longue, la plus célèbre, la plus difficile à calculer est le nombre irrationnel π

π = 3, 14159265358979...

Le nombre de décimales connues se compte en milliards, (plus de 206 milliards)

Ce qui fait que la valeur exacte de π est π

π permet de calculer le périmètre du cercle :

un cercle de diamètre égal à 1 mètre aura un périmètre égal à π

périmètre = π D = π x 1 = π mètres
ou périmètre = 2π r = 2π x 1∕2 = π mètres
ou périmètre = 3,14 m. à 1/100 près

π permet de calculer la surface du cercle :

un cercle de rayon égal à 1 mètre aura une surface égale à π

surface = π r² = π x 1 = π m²
ou surface = π D²⁄4 = π m²
ou surface = 3,14 m² à 1/100 près

Dans le cercle trigonométrique de rayon égal à 1, le périmètre est égal à 2π
π D = π x 2 = 2π

2 π = 360º, π = 180°, π ∕ 2 = 90º,  π ∕ 3 = 60º et  π ∕ 4 = . . º

sin α = AB/1 = AB

cos α = OB/1 = OB

tg α = AB/OB

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 chiffres pour écrire tous les nombres : c'est le système décimal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Quand j'écris 825 et 249, le chiffre 2 n'a pas la même signification :

- dans 825, il signifie 2 x 10
- dans 249, il signifie 2 x 100

Quand j'écris 825
825 = (8 x 100) + (2 x 10) + 5

825 a 3 colonnes
8 est le chiffre des centaines
2 est le chiffre des dizaines
5 est le chiffre des unités

Quand j'écris 3 045 781

3 045 781 a 7 colonnes
3 045 781 = (3 x 1 000 000) + (0 x 100 000) + (4 x 10 000) + (5 x 1 000) + (7 x 100) + ...
3 est le chiffre des ..........................
0 est le chiffre des ..........................
4 est le chiffre des ..........................
5 est le chiffre des ..........................

Quand j'écris 1, 025

1, 025 a 4 colonnes
1 est le chiffre des unités
0 est le chiffre des dixièmes
2 est le chiffre des centièmes
5 est le chiffre des millièmes
1, 025 = 10,25/10 = 102,5/100 = 1025/1000

Je peux écrire :
0,1 = 1/10
0,01 = 1/100
0, 001 = 1/1000
0, 000001 = 1 / . . . . . .





2 chiffres pour écrire tous les nombres : c'est le système binaire

0  1

Les ordinateurs utilisent le système binaire, 0 1

Augustine :  Trop facile les ordis

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

Les nombres premiers sont des nombres entiers positifs qui ne peuvent pas être "émiettés".

Les grands nombres premiers nous permettent d'acheter en ligne sur internet en toute sécurité.

Un nombre premier à 22 millions de chiffres :

2 puissance 74 207 281 - 1

est le plus grand nombre premier connu.


Augustine : Mais à quoi ça sert les nombres premiers ?

Hercule : A rien, non je rigole; si ça sert à te faire comprendre que 6/15 = 2/5, c'est déjà beaucoup...

6/15 = 2 x 3 / 3 x 5 = 2/5

25% = 25/100 = 5 x 5 / 2 x 2 x 5 x 5 = 1 / 2 x 2 = . / .

25 = 5 x 5
100 = 2 x 2 x 5 x 5

ADDITION ET SOUSTRACTION

ADDITION : une retenue c'est quoi ?

Une retenue est indispensable lorsque la somme d'une colonne va au delà de 9.

1   1

2 7 5
+ 3 7
------
3 1 2

Dans la colonne 1, (5 + 7), la somme va au delà de 9
7 + 5 = 12 soit 10 + 2, soit une dizaine + 2 unités, retenue = 1

Dans la colonne 2, (7 + 3), la somme va au delà de 9
7 + 3 + 1 = 11 soit 100 + 10, soit une centaine + 1 dizaine, retenue
= 1 1

2 + 1 = 3, soit 2 centaines + 1 centaine.

Propriétés de l'addition :

7 + 15 = 15 + 7
l'addition est commutative : a + b = b + a
15 + (5 + 2) = (15 + 5) + 2
l'addition est associative : (a + b) + c = a + (b + c)
15 + 7 =  (15 + 5) + 2 = 20 + 2 = 22

Calcul mental :

275 + 37 = 275 + 30 + 7 = 305 + 5 + 2 = 310 + 2 = 312

SOUSTRACTION : un emprunt c'est quoi ?

La soustraction est l'inverse de l'addition.

2 7 5           2 3 8
-  3 7           + 3 7
------           ------
2 3 8           2 7 5

Un emprunt est nécessaire lorsque l'on soustrait.
   
     1

2 7 5
-  3 7
------
2 3 8

dans la colonne 1, (5 - 7), on emprunte une dizaine à 275
15 - 7 = 8 soit 10 + 5 = 15, soit une dizaine + 5 unités, emprunt = 1
dans la colonne 2, 7 dizaines - 1 dizaine, (emprunt) - 3 dizaines = 3
7 - 1 = 6,  6 - 3 = 3
dans la pratique et dans la colonne 2, on préfère, 7 dizaines - 4 dizaines, ( 3 dizaines + 1 dizaine, emprunt) = 3 dizaines = 3
7 - (3 + 1) = 7 - 4 = 3
dans la colonne 3, il reste 2 centaines.
275 - 37 = 238

MULTIPLICATION ET DIVISION

MULTIPLICATION :

La multiplication de 2 nombres a et b est  a x b, a . b, (a) (b) et en maths on préfère ab

Comme pour l'addition, une retenue est nécessaire quand le produit d'une colonne de chiffres vaut plus que 9.

     3
   1 5
   x 7
 -----
1 0 5

colonne 1, 7 x 5 = 35, 3 dizaines et 5 unités, retenue 3 dizaines = 3
colonne 2, 7 x 1 = 7, 7 + 3, 7 dizaines + 3 dizaines = 10 dizaines
7 x 15 = 105

La multiplication est commutative,  a x b = b x a
7 x 5 = 5 x 7 = ..
la multiplication est associative, (a x b) x c = a x (b x c)
7 x 5 x 4 = (7 x 5) x 4 = 7 x (5 x 4) = 7 x 20 = 140

DIVISION :

La division n'est ni commutative, ni associative.

La division de 2 nombres a et b est a : b et en maths on préfère a / b

La division de tout nombre par zéro est indéterminé.

ZERO C'EST RIEN ET L'INFINI C'EST BEAUCOUP

Zéro :  0


Zéro, symbole 0, est l'absence de quantité
Zéro signifie rien ou nul ou "chou blanc".
Zéro est le nombre réel ni positif, ni négatif.

Si a représente un nombre réel,
a + 0 = a
25 + 0 =  . .

a x 0 = 0
25 x 0 =  .

0 / a = 0 si a n'est pas égal à 0
0 / 25 =    .

La division par zéro n'est pas définie, on ne peut pas diviser par rien.
a / 0 = error
25 / 0 = . . . . .

autre chose :
a⁰ = 1, si a n'est pas égal à 0
25⁰ =  .



Infini :   ∞

Déclarez que tout nombre est le plus grand et vous pourrez toujours en ajouter un de plus.

Il est aussi vrai, qu'entre 0 et 1, il existe un nombre infini de nombres.

FONCTIONS

Une fonction est une relation qui crée une valeur de sortie unique pour une valeur d'entrée unique.

Le symbole f (x) est utilisé pour une fonction de la variable x

Par exemple f (x) = x² est l'expression pour laquelle la valeur de sortie de 9, (3²) est obtenue pour une valeur d'entrée de 3

valeur d'entrée         valeur de sortie
0     ----------------     0
1     ----------------     1
-1    ----------------     1 
              

Autre exemple f (x) = - x² + x + 2

valeur d'entrée         valeur de sortie

-1----------------------   .
0 ----------------------   .
1 ----------------------   .
2 ----------------------   .
1 / 2 ------------------   .  / .  =  . , . .

EQUATIONS

Chaque fois qu'on affirme que deux quantités sont égales, on a une équation.

En maths le symbole le plus important est le signe  =
ce signe affirme que 2 quantités sont égales de chaque coté.

Un type courant d'équation implique un nombre inconnu.

Par exemple, trouver le nombre inconnu x tel que 2 x + 1 = 9

si x = 1,  on a (2 x 1) + 1 = 9 soit 3 = 9 → faux
si x = 2, on a  (2 x 2) + 1 = 9 soit 5 = 9 → faux
si x = 3, on a  (2 x 3) + 1 = 9 soit 7 = 9 → faux
si x = 4, on a  (2 x 4) + 1 = 9 soit 9 = 9 → vrai

résoudre une équation, c'est trouver la valeur de x;  à tâtons, ça peut être très long;
avec méthode on peut aller plus vite.

Avec toute équation, la règle première est : toujours faire la même chose des deux cotés du signe =

voici notre équation :   2 x + 1 = 9
si je désire soustraire 1 d'un coté, je dois le faire des deux cotés :
                                    2 x + 1 - 1 = 9 - 1
                                    2 x            =  8
de même, lorsque je divise un coté par 2, je dois le faire des deux cotés :
                                    2 x / 2  =  8 / 2
                                       x       =  4
x = 4, est la solution à l'équation 2 x + 1 = 9

voici une autre équation :
 -x² + x + 2 =  0
et voici la représentation graphique de :
f(x) = - x² + x + 2

C'est une jolie parabole qui présente plusieurs valeurs d'entrée remarquables :
si  x = -1 ------------- f(x) = 0
si  x =  2 ------------- f(x) = 0
si  x = 1/2 ------------f(x) = 1/4 + 2 = 2,25

x = -1 et x = 2, sont les racines de l'équation  -x² + x + 2
x = 1/2 et f(x) = 2, 25 sont les coordonnées du point maximum de la parabole.

ALGORITHMES

Les algorithmes sont conçus comme des procédures théoriques pour mettre à exécution les tâches mathématiques.

On les utilise constamment dans tous les ordinateurs du monde.

La révolution du XXⅇ siècle est celle de l'ordinateur, pourtant les ordinateurs ne sont rien sans programmes et les programmes d'un ordinateur ne sont rien d'autre que des algorithmes.

Un algorithme n'est pas compliqué; il est juste une liste d'instructions mettant à exécution une tâche ou chaque étape est complètement réalisée sans ambiguité.
Il peut être mis à exécution par un agent irréfléchi.


Voici un algorithme réalisé par Karim MADGER pour déterminer si on peut faire des crêpes ou non.

Et voici un algorithme ou une recette pour le cube de RUBIK.

LE BLOG D'HERCULE

BIS

Hercule a voulu dans ce blog encourager les élèves à aimer les mathématiques et à s'approprier les incontournables pour pouvoir progresser.

Pour cela, Hercule s'est largement inspiré du très beau livre de Richard Brown, 3 minutes pour comprendre les 50 plus grandes théories mathématiques et de son vocabulaire imagé comme par exemple, chou-blanc, émietté, emprunt...
Mais encore, Quick Graph, une apps pour iPhone.

Dans sa volonté de se limiter à 10 incontournables, Hercule a sacrifié plusieurs coups de coeur comme le nombre d'or, les probabilités, les solides de Platon, les briques d'Euler...

Mais pour se faire pardonner ces sacrifices, Hercule va vous raconter la fabuleuse histoire d'Eratosthène et de son complice Béton le Bématiste.

ye ye ye

LA MESURE DE LA CIRCONFERENCE DE LA TERRE PAR ERATOSTHENE

Nous sommes à la fin du IIIe siècle avant notre ère, en Egypte, sous le règne du pharaon Ptolémée III dit Evergète "le bienfaiteur". Le grec Eratosthène est directeur de la grande bibliothèque d'Alexandrie, il est aussi, géographe et mathématicien.
Il ne regarde pas la TV et il s'intéresse davantage au soleil, à la lune, aux étoiles, aux ombres, aux angles et à ses compatriotes, (Thales, Pythagore ...).

 A la demande du Pharaon "Evergète", il va rechercher une méthode pour mesurer la circonférence de la terre.

Evergète mourut sans savoir la grandeur de la terre sur laquelle il avait vécu quelque soixante années. Sans savoir non plus comment Eratosthène comptait s'y prendre pour la calculer.


Une sphère, des angles, des ombres, un arc de cercle.

Eratosthène :  "Si je connais la valeur de l'angle C et la distance entre les villes A et B, je peux calculer la circonférence de la terre.
A chaque ville, je dresserai un gnomon et le même jour à midi, je mesurerai l'ombre des deux gnomons.
A midi exactement.
Les deux villes se trouvant sur le même méridien, le soleil culminera au même instant, il sera donc midi simultanément dans les deux lieux.

angle C = angle B - angle A
connaître cet angle, c'est connaître la circonférence de la terre.

La ville A, ce sera Alexandrie et la ville B ce sera Thèbes.

- Et comment mesure-t-on la distance d'Alexandrie à Thèbes ? demanda Théo, (l'assistant d'Eratosthène).

- En suivant le Nil et avec un Bématiste, répondit Eratosthène.

C'est ainsi qu'Eratosthène, Théo son assistant et Béton le Bématiste entreprirent en remontant le Nil de mesurer la distance entre Alexandrie et Thèbes, avec l'aide et les finances de Ptolémée IV Philopator "celui qui aime son père", qui avait succédé à Evergète.

Tout baignait, jusqu'au jour où Béton, victime d'un accident, fut contraint de se reposer pendant une semaine.

Et voici qu'un matin, Béton interpella Théo :
- "Dis, Théo, maintenant qu'on a un peu de temps, tu ne voudrais pas me dire pourquoi je marche ?
Enfin pourquoi j'ai marché jusqu'à présent ?
- Comment cela, pourquoi tu marches ? demanda Théo.
- Oui, peux- tu m'expliquer à quoi cela va servir... tous ces pas...
- A mesurer la terre ! répondit sèchement Théo.
- Merci, je l'avais compris, je te demande comment tous ces pas vont servir à mesurer la terre."

Et une heure plus tard, malgré les explications de Théo, Béton n'en savait pas plus.  : "Je ne sais pas ce que j'ai compris, mais je sais que je n'ai rien compris à ces deux angles. Un à Alexandrie, d'accord? L'autre à Thèbes. Pourquoi à Thèbes ?
Théo se leva, excédé :" Tu ne comprends rien, rien de rien ! Voilà pourquoi tu marches, parce que tu es incapable de comprendre ce genre de choses."
Béton le regarda, peiné. Théo s'éloigna puis revint au bout d'un moment : " Si je crie, c'est parce que moi-même je n'ai rien compris. Si j'avais compris, je serais capable de te l'expliquer."

Plus tard, Théo se décida à parler à Eratosthène :
- Je vais vous raconter l'histoire du célèbre Eratosthène, directeur de la grande bibliothèque d'Alexandrie qui mesura la terre. Il inventa une méthode magistrale. Ses mesures d'ombres, il les effectua... je ne me souviens plus du jour précis, mais cela n'a pas d'importance, car il aurait pu les faire n'importe quel autre jour. Quant à sa mesure de distance, il la commença à Alexandrie et la termina à ... Thèbes à moins que ce soit à Apollônospolis ... où ailleurs.

Et se tournant vers Eratosthène :" Vous croyez que cela incite à s'intéresser à votre mesure ? "N'importe quand", "n'importe où".

"Tu n'as rien compris Théo, s'écria Eratosthène. C'est tout l'intérêt de ma méthode, elle s'applique en toutes situations. "N'importe quand", oui ! "N'importe où" oui ! Voilà précisément ce que les savants recherchent, des méthodes générales !"

L'argument était fondé, mais il ne satisfaisait pas Théo.
-J'en ai longuement parlé avec Béton, dit ce dernier. Eh bien, il n'a rien compris. Et pourtant, il est impliqué, dans cette affaire, et je vous assure qu'il voulait vraiment comprendre. D'ailleurs, moi non plus, je ne comprends pas. C'est trop compliqué.
Vous voulez que je vous dise ? vos deux angles, eh bien, il y en a un de trop !

-Un de trop, un de trop ! s'étouffa Eratosthène.
C'est trop fort ! il y a un angle de trop dans ma méthode !
Ma méthode est juste et c'est tout ce qui compte.

-Non ce n'est pas tout ce qui compte, hurla Théo. Si vous voulez qu'on s'en souvienne, la première mesure de la terre doit être simple.

Non sans réticence, Eratosthène dut admettre que les arguments de Théo concernant sa méthode étaient de bon sens.

Béton était à nouveau "sur pieds" et avant de reprendre sa marche en compagnie de Théo, Eratosthène les réunit et leur tint le discours que voici : "Dans la ville de Syène, juste au-dessous de la grande cataracte, se trouve un puits où, une fois dans l'année, à midi précis, le Soleil, comme un glaive de feu, pénètre jusqu'au fond du trou et éclaire l'eau fraîche des profondeurs."

"Le jour dont je parle est le jour du solstice d'été, le jour le plus long de l'année. Si le soleil parvient à éclairer le fond du puits à midi, cela signifie que ses rayons sont verticaux. S'ils sont verticaux, le soleil ne fait pas d'ombre. Et s'il n'y a pas d'ombre, pas besoin de la mesurer.
Donc, une seule mesure suffira ! celle que fait le soleil à midi à Alexandrie, le jour du solstice d'été."

Et Eratosthène ajouta : " Théo voulait un seul angle, il l'a !"

Cette mesure effectuée plus de deux siècles avant notre ère attribue à la terre une circonférence de
39 600 kilomètres.
Aujourd'hui des méthodes plus précises donnent 40 000 kilomètres.



Cette belle histoire de calcul est extraite du livre de Denis GUEDJ : Les cheveux de Bérénice.

LA FONCTION ET L'EQUATION DU PREMIER DEGRE

Pour tracer une droite, il suffit de 2 points.

Voici 2 points : A (1 ; -1) et B (-2 ; 17)

pour le point A : x = 1  et y = -1
pour le point B : x = -2 et y = 17

l'équation de la droite est de la forme :

y = ax + b

le point A donne :          -1 =    a + b
le point B donne :          17 = -2a + b

soit 2 équations et 2 inconnues, facile à résoudre.

éliminer une inconnue, b par exemple :

multiplier la première équation par (-1) et faire la somme des 2 équations :

(-1)    1 = - a    - b
        17 = - 2a + b
      ------------------
        18 = - 3a
        3a = -18
          a = - 18/3
          a = - 6

remplacer a par (-6) dans l'une des 2 équations pour trouver b :

1 = 6 - b
b = 5

donc l'équation de la droite est :

y =   ax + b
y = - 6x + 5

Résoudre l'équation : - 6x + 5 = 0

6x = 5
x = 5/6

l'équation - 6x + 5 = 0  a une solution : x = 5/6

LA FONCTION ET L'EQUATION DU SECOND DEGRE

L'équation d'une parabole est de la forme :

y = ax² + bx + c   avec a ≠ 0

soit y = - 1/10 x² + 4/5 x + 2

pour y = 0  la lecture du graphique nous donne :  x = - 2 et x = 10

L'équation du second degré : - 1/10 x² + 4/5 x + 2 = 0 a 2 solutions :

x = - 2         (1/10 x 4) + 4/5 x (- 2) + 2 = 0
x = 10         (1/10 x 10) + 4/5 x 10 + 2 = 0


le graphique donne un maximum pour x = 4 et pour y ≈ 3, 5



y = - 1/10 x² + 4/5 x + 2

Calculer la dérivée :

y' = - 2/10 x + 4/5 = - 1/5 x + 4/5

y' = 0
- 1/5 x + 4/5 = 0
1/5 x = 4/5
x = 4/5 : 1/5 = 4/5 x 5 = 4

y = (- 1/10 x 16) + (4/5 x 4) + 2 = (- 16/10 + 16/5) + 2 = 16/10 + 2 = 36/10 = 3,6

la fonction y passe par un maximum : M (4 ; 3,6)



1/ Résoudre l'équation : - 1/10 (x + 2) (x - 10) = 0                                                                               
- 1/10 x² + 4/5 x + 2 = - 1/10 (x² - 8x - 20) = - 1/10 (x + 2) (x - 10)

- 1/10 (x + 2) (x - 10) = 0

L'équation a 2 solutions :

x + 2 = 0  et x = - 2

x - 10 = 0 et x = 10



2/ Résoudre l'équation avec : - 1/10 x² + 4/5 x + 2 = 0

a = -1/10
b = 4/5
c = 2

∆ = b² - 4ac
∆ = 16/25 - 4 (- 1/10 x 2) = 16/25 + 4/5 = 16/25 + 20/25 = 36/25
∆ > 0 ⇒ 2 racines
x' = - b + √∆ / 2a = - 4/5 + √36/25 : - 2/10 =  2/5 : - 2/10 = - 2

x" = - b - √∆ / 2a = - 4/5 - √36/25 : - 2/10 = - 2 : - 2/10 = 10

x' = - 2
x" = 10

UNE ENTREE, PAS DE SORTIE

y = 1/x

x = 1,  y = .
x = -1, y = . 
x = 0,  y =             La division par 0 est ..................

y = 1/(2x - 5)

x = 0,    y =    . / .

x = 5,    y = . / .  

x = 5/2, y =                    La division par 0 est ...................

y = √(x+3)

x = 0,   y = √3
x = 1,   y = √4 = 2
x = -1,  y = √2
x = -3,  y = √ . = .
x = -4,  y =                                    Impossible

pourquoi ? : ..........................................................................

TROIS PARABOLES

y = x² + 1

x = -1,  y = 2

x = 1,  y = .

x = 0,  y = .

y = x²

x = -1,  y = 1

x = 1,  y = .

x = 0,  y = .

y = x² -1

x = -1,  y = 0

x = 1,  y = .

x = 0,  y = .

y = x² + 1,  si y = 0, x² + 1 = 0 ⇒ pas de solution,
 l'équation x² + 1 = 0 n'a pas de solution

y = x²,        si y = 0, x² = 0 ⇒ 1 solution : x = 0, 
l'équation x² = 0 admet 1 solution

y = x² - 1   si y = 0, x² - 1 = 0 ⇒ 2 solutions : x = -1 & x = 1, 
l'équation x² - 1 admet 2 solutions

DES PUISSANCES, DES RACINES ET ..... DES FRACTIONS

1/10 = 0,1 
1/10¹ = 10⁻¹
0,1 = 10⁻¹

1/100 = 0,01 = 1/10² = 10⁻²

1/1000 = 0,001 = 1/10³ = 10⁻³


√a x √a = a
ou
a¹/² x a¹/² = a¹ = a

∀ a,   √a = a¹/²

a¹/² x a¹/² = a¹ = a

a¹/² x a¹/² = a¹/² ⁺ ¹/² = a¹ = a

a ≠ 0,  1/√a = a⁻¹/²
           1/a¹/² = a⁻¹/²


Calculer √a et 1/√a , pour :

a = 0
a = 1
a = 100

un crocodile Ecossais

"Un crocodile a repéré une proie située à 20 mètres de lui sur la berge opposée d'une rivière. Le crocodile se déplace à une vitesse différente sur terre et dans l'eau. Le temps que met le crocodile à atteindre le zèbre peut être réduit s'il traverse la rivière en visant un certain point P, placé à x mètres du point de départ sur l'autre rive (voir schéma).

Le temps T nécessaire pour faire le trajet est donné par l'équation indiquée ci-dessous (en dixièmes de seconde ).

1/ Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre uniquement à la nage.

2/ Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre s'il coupe la rivière au plus court.

3/ Entre ces 2 extrêmes, il existe une valeur de x qui minimise le temps nécessaire. Trouver cette valeur de x et en déduire ce temps minimum."

    y = 5.√(36 + x²) + 4. (20 - x)

1/ x = 20, y = 5. √(36 + 20²) + 4. (20 - 20) = . . ., . / 100

2/ x = 0,   y = 5. √(36 + 0²) + 4. (20 - 0) = . . . / 100

3/ la fonction y = 5. √(36 + x²) + 4. (20 - x) passe par un minimum pour x = .

   x = .  ,   y = . . /100