LA FONCTION ET L'EQUATION DU PREMIER DEGRE

Pour tracer une droite, il suffit de 2 points.

Voici 2 points : A (1 ; -1) et B (-2 ; 17)

pour le point A : x = 1  et y = -1
pour le point B : x = -2 et y = 17

l'équation de la droite est de la forme :

y = ax + b

le point A donne :          -1 =    a + b
le point B donne :          17 = -2a + b

soit 2 équations et 2 inconnues, facile à résoudre.

éliminer une inconnue, b par exemple :

multiplier la première équation par (-1) et faire la somme des 2 équations :

(-1)    1 = - a    - b
        17 = - 2a + b
      ------------------
        18 = - 3a
        3a = -18
          a = - 18/3
          a = - 6

remplacer a par (-6) dans l'une des 2 équations pour trouver b :

1 = 6 - b
b = 5

donc l'équation de la droite est :

y =   ax + b
y = - 6x + 5

Résoudre l'équation : - 6x + 5 = 0

6x = 5
x = 5/6

l'équation - 6x + 5 = 0  a une solution : x = 5/6

LA FONCTION ET L'EQUATION DU SECOND DEGRE

L'équation d'une parabole est de la forme :

y = ax² + bx + c   avec a ≠ 0

soit y = - 1/10 x² + 4/5 x + 2

pour y = 0  la lecture du graphique nous donne :  x = - 2 et x = 10

L'équation du second degré : - 1/10 x² + 4/5 x + 2 = 0 a 2 solutions :

x = - 2         (1/10 x 4) + 4/5 x (- 2) + 2 = 0
x = 10         (1/10 x 10) + 4/5 x 10 + 2 = 0


le graphique donne un maximum pour x = 4 et pour y ≈ 3, 5



y = - 1/10 x² + 4/5 x + 2

Calculer la dérivée :

y' = - 2/10 x + 4/5 = - 1/5 x + 4/5

y' = 0
- 1/5 x + 4/5 = 0
1/5 x = 4/5
x = 4/5 : 1/5 = 4/5 x 5 = 4

y = (- 1/10 x 16) + (4/5 x 4) + 2 = (- 16/10 + 16/5) + 2 = 16/10 + 2 = 36/10 = 3,6

la fonction y passe par un maximum : M (4 ; 3,6)



1/ Résoudre l'équation : - 1/10 (x + 2) (x - 10) = 0                                                                               
- 1/10 x² + 4/5 x + 2 = - 1/10 (x² - 8x - 20) = - 1/10 (x + 2) (x - 10)

- 1/10 (x + 2) (x - 10) = 0

L'équation a 2 solutions :

x + 2 = 0  et x = - 2

x - 10 = 0 et x = 10



2/ Résoudre l'équation avec : - 1/10 x² + 4/5 x + 2 = 0

a = -1/10
b = 4/5
c = 2

∆ = b² - 4ac
∆ = 16/25 - 4 (- 1/10 x 2) = 16/25 + 4/5 = 16/25 + 20/25 = 36/25
∆ > 0 ⇒ 2 racines
x' = - b + √∆ / 2a = - 4/5 + √36/25 : - 2/10 =  2/5 : - 2/10 = - 2

x" = - b - √∆ / 2a = - 4/5 - √36/25 : - 2/10 = - 2 : - 2/10 = 10

x' = - 2
x" = 10

UNE ENTREE, PAS DE SORTIE

y = 1/x

x = 1,  y = .
x = -1, y = . 
x = 0,  y =             La division par 0 est ..................

y = 1/(2x - 5)

x = 0,    y =    . / .

x = 5,    y = . / .  

x = 5/2, y =                    La division par 0 est ...................

y = √(x+3)

x = 0,   y = √3
x = 1,   y = √4 = 2
x = -1,  y = √2
x = -3,  y = √ . = .
x = -4,  y =                                    Impossible

pourquoi ? : ..........................................................................

TROIS PARABOLES

y = x² + 1

x = -1,  y = 2

x = 1,  y = .

x = 0,  y = .

y = x²

x = -1,  y = 1

x = 1,  y = .

x = 0,  y = .

y = x² -1

x = -1,  y = 0

x = 1,  y = .

x = 0,  y = .

y = x² + 1,  si y = 0, x² + 1 = 0 ⇒ pas de solution,
 l'équation x² + 1 = 0 n'a pas de solution

y = x²,        si y = 0, x² = 0 ⇒ 1 solution : x = 0, 
l'équation x² = 0 admet 1 solution

y = x² - 1   si y = 0, x² - 1 = 0 ⇒ 2 solutions : x = -1 & x = 1, 
l'équation x² - 1 admet 2 solutions

DES PUISSANCES, DES RACINES ET ..... DES FRACTIONS

1/10 = 0,1 
1/10¹ = 10⁻¹
0,1 = 10⁻¹

1/100 = 0,01 = 1/10² = 10⁻²

1/1000 = 0,001 = 1/10³ = 10⁻³


√a x √a = a
ou
a¹/² x a¹/² = a¹ = a

∀ a,   √a = a¹/²

a¹/² x a¹/² = a¹ = a

a¹/² x a¹/² = a¹/² ⁺ ¹/² = a¹ = a

a ≠ 0,  1/√a = a⁻¹/²
           1/a¹/² = a⁻¹/²


Calculer √a et 1/√a , pour :

a = 0
a = 1
a = 100

un crocodile Ecossais

"Un crocodile a repéré une proie située à 20 mètres de lui sur la berge opposée d'une rivière. Le crocodile se déplace à une vitesse différente sur terre et dans l'eau. Le temps que met le crocodile à atteindre le zèbre peut être réduit s'il traverse la rivière en visant un certain point P, placé à x mètres du point de départ sur l'autre rive (voir schéma).

Le temps T nécessaire pour faire le trajet est donné par l'équation indiquée ci-dessous (en dixièmes de seconde ).

1/ Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre uniquement à la nage.

2/ Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre s'il coupe la rivière au plus court.

3/ Entre ces 2 extrêmes, il existe une valeur de x qui minimise le temps nécessaire. Trouver cette valeur de x et en déduire ce temps minimum."

    y = 5.√(36 + x²) + 4. (20 - x)

1/ x = 20, y = 5. √(36 + 20²) + 4. (20 - 20) = . . ., . / 100

2/ x = 0,   y = 5. √(36 + 0²) + 4. (20 - 0) = . . . / 100

3/ la fonction y = 5. √(36 + x²) + 4. (20 - x) passe par un minimum pour x = .

   x = .  ,   y = . . /100

COMME UN LEGO

C'est un grand terrain de nulle part

Avec de belles poignées d'argent

La lunette d'un microscope

Et tous ces petits êtres qui courent

Car chacun vaque à son destin

Petits ou grands

Comme durant les siècles égyptiens

Péniblement...

A porter mille fois son poids sur lui

Sous la chaleur et dans le vent

Dans le soleil ou la nuit

Voyez-vous ces êtres vivants ?

Voyez-vous ces êtres vivants ?

Voyez-vous ces êtres vivants ?

Quelqu'un a inventé ce jeu

Terrible, cruel, captivant

Les maisons, les lacs, les continents

Comme un lego avec du vent...